在雷速體育5月28日的新聞報道中，漢堡足球俱樂部正式宣布了其三名核心球員的離隊消息。首先，27歲的中場球員里希特將在今年6月30日合同期滿后，回歸其原俱樂部美因茨。他于2024年8月從美因茨以租借的形式加入漢堡隊，期間表現一直備受矚目。

其次，同樣租借期滿的還有21歲的右邊鋒梅布德。他將結束在漢堡的職業生涯，返回比利時比甲聯賽的韋斯特洛俱樂部。梅布德在漢堡期間以其出色的速度和突破能力贏得了眾多球迷的喜愛。

此外，還有一名青訓球員祖姆貝里也將于本賽季末合同到期后離隊。他將作為自由身尋找新的下家。祖姆貝里在漢堡的青訓體系中成長，其潛力與實力都備受期待。

這三名球員的離隊無疑將為漢堡隊帶來不小的空缺，但同時也為他們的新東家注入了新的活力。球迷們期待著他們在新的舞臺上繼續展現自己的才華，為各自的球隊帶來更多的勝利和榮譽。【題目】某工廠有甲、乙、丙三個車間生產某產品，某日三車間同時開工生產該產品，當天生產過程中發生了一些故障需維修，其中甲車間出現故障的概率為0.2，若甲車間出現故障則乙車間出現故障的概率增加到原來的兩倍，若乙車間出現故障則丙車間出現故障的概率為原來的三分之一．若丙車間的故障不影響其他車間的故障率．求當甲車間發生故障而丙車間不發生故障時乙車間恰好發生故障的概率．

【答案】解：

設甲、乙、丙三個車間發生故障的事件分別為A、B、C。根據題意，有$P(A) = 0.2$，$P(B|A) = 2P(B)$（即當甲車間出現故障時，乙車間的故障概率是原來的兩倍），$P(C|B) = \frac{1}{3}P(C)$（即當乙車間出現故障時，丙車間的故障概率是原來的三分之一）。

我們需要求的是當甲車間發生故障而丙車間不發生故障時，乙車間恰好發生故障的概率，即$P(B|AC)$。根據條件概率的公式，有

$$P(B|AC) = \frac{P(AC|B)P(B)}{P(AC)}$$其中$P(AC|B)$表示在乙車間發生故障的條件下，甲、丙兩車間同時發生故障的概率；$P(B)$表示乙車間發生故障的概率；$P(AC)$表示甲、丙兩車間同時發生故障的概率。

由題意可知$P(A) = 0.2$，所以$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0.8$（$\overline{A}$表示甲車間不發生故障）。又因為$P(B|A) = 2P(B)$，所以$P(B) = \frac{1}{3}P(A) = \frac{1}{3} \times 0.2 = \frac{1}{15}$。同理，由于$P(C|B) = \frac{1}{3}P(C)$且不影響其他車間的故障率，所以$P(C) = 0$（因為題目要求的是丙不發生故障的情況）。

接下來考慮$P(AC|B)$，即乙車間的故障對甲車間的故障和丙車間的非故障同時發生的影響。由于乙車間的故障使得甲車間的故障概率加倍（由題意知），而丙車間的非故障不受影響（由題意知），所以$P(AC|B) = P(A|B) \times P(\overline{C}) = 2P(A) \times 1 = 2 \times 0.2 \times 1 = 0.4$（因為丙不發生故障的概率為1）。

代入條件概率公式得：

$$P(B|AC) = \frac{0.4 \times \frac{1}{15}}{0.8 \times 0} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$$所以當甲車間發生故障而丙車間不發生故障時，乙車間恰好發生故障的概率為$\frac{1}{15}$。